Autoregressive Gleit Durchschnitt Simulation

Autoregressive gleitende durchschnittliche Fehlerprozesse (ARMA-Fehler) und andere Modelle, die Verzögerungen von Fehlerbegriffen beinhalten, können durch Verwendung von FIT-Anweisungen geschätzt und mit SOLVE-Anweisungen simuliert oder prognostiziert werden. ARMA-Modelle für den Fehlerprozess werden oft für Modelle mit autokorrelierten Resten verwendet. Das AR-Makro kann verwendet werden, um Modelle mit autoregressiven Fehlerprozessen festzulegen. Das MA-Makro kann verwendet werden, um Modelle mit gleitenden durchschnittlichen Fehlerprozessen zu spezifizieren. Autoregressive Fehler Ein Modell mit Autoregressivfehlern erster Ordnung, AR (1), hat die Form, während ein AR (2) Fehlerprozess die Form und so weiter für höherwertige Prozesse hat. Beachten Sie, dass die s unabhängig und identisch verteilt sind und einen erwarteten Wert von 0 haben. Ein Beispiel für ein Modell mit einer AR (2) - Komponente ist und so weiter für höherwertige Prozesse. Zum Beispiel können Sie ein einfaches lineares Regressionsmodell mit MA (2) Moving-Average-Fehlern schreiben, da MA1 und MA2 die gleitenden Durchschnittsparameter sind. Beachten Sie, dass RESID. Y automatisch von PROC MODEL definiert wird. Die ZLAG-Funktion muss für MA-Modelle verwendet werden, um die Rekursion der Verzögerungen abzuschneiden. Damit wird sichergestellt, dass die verzögerten Fehler in der Lag-Priming-Phase bei Null beginnen und bei fehlenden Fehlern keine fehlenden Werte ausbreiten, und es stellt sicher, dass die zukünftigen Fehler null sind, anstatt während der Simulation oder Prognose zu fehlen. Einzelheiten zu den Lag-Funktionen finden Sie im Abschnitt Lag Logic. Dieses Modell, das mit dem MA-Makro geschrieben wurde, lautet wie folgt: Allgemeines Formular für ARMA-Modelle Das allgemeine ARMA (p, q) - Verfahren hat folgendes Formular Ein ARMA (p, q) - Modell kann wie folgt angegeben werden: wobei AR i und MA j repräsentieren Die autoregressiven und gleitenden Durchschnittsparameter für die verschiedenen Verzögerungen. Sie können alle Namen, die Sie für diese Variablen wollen, und es gibt viele gleichwertige Möglichkeiten, dass die Spezifikation geschrieben werden könnte. Vektor-ARMA-Prozesse können auch mit PROC MODEL geschätzt werden. Beispielsweise kann ein zwei-variables AR (1) - Verfahren für die Fehler der beiden endogenen Variablen Y1 und Y2 wie folgt spezifiziert werden: Konvergenzprobleme mit ARMA-Modellen ARMA-Modelle können schwer abzuschätzen sein. Wenn die Parameterschätzungen nicht innerhalb des entsprechenden Bereichs liegen, wachsen ein gleitender Durchschnittsrestbestand exponentiell. Die berechneten Residuen für spätere Beobachtungen können sehr groß sein oder überlaufen. Dies kann entweder geschehen, weil falsche Startwerte verwendet wurden oder weil die Iterationen von vernünftigen Werten entfernt wurden. Bei der Auswahl von Startwerten für ARMA-Parameter sollte die Pflege verwendet werden. Startwerte von 0,001 für ARMA-Parameter funktionieren in der Regel, wenn das Modell die Daten gut passt und das Problem gut konditioniert ist. Beachten Sie, dass ein MA-Modell oft durch ein höheres AR-Modell angenähert werden kann und umgekehrt. Dies kann zu einer hohen Kollinearität in gemischten ARMA-Modellen führen, was wiederum eine ernsthafte Konditionierung in den Berechnungen und Instabilitäten der Parameterschätzungen verursachen kann. Wenn Sie Konvergenzprobleme haben, während Sie ein Modell mit ARMA-Fehlerprozessen abschätzen, versuchen Sie es in Schritten zu schätzen. Zuerst verwenden Sie eine FIT-Anweisung, um nur die strukturellen Parameter mit den ARMA-Parametern auf Null (oder vernünftige vorherige Schätzungen falls vorhanden) abzuschätzen. Als nächstes verwenden Sie eine andere FIT-Anweisung, um die ARMA-Parameter nur mit den strukturellen Parameterwerten aus dem ersten Lauf zu schätzen. Da die Werte der Strukturparameter wahrscheinlich nahe an ihren endgültigen Schätzungen liegen, können die ARMA-Parameter-Schätzungen nun konvergieren. Schließlich verwenden Sie eine andere FIT-Anweisung, um simultane Schätzungen aller Parameter zu erzeugen. Da die Anfangswerte der Parameter nun wahrscheinlich ganz nahe bei ihren endgültigen gemeinsamen Schätzungen liegen, sollten die Schätzungen schnell konvergieren, wenn das Modell für die Daten geeignet ist. AR Anfangsbedingungen Die anfänglichen Verzögerungen der Fehlerausdrücke von AR (p) - Modellen können auf unterschiedliche Weise modelliert werden. Die autoregressiven Fehlerstartmethoden, die von SASETS-Prozeduren unterstützt werden, sind die folgenden: bedingte kleinste Quadrate (ARIMA - und MODELL-Prozeduren) bedingungslose kleinste Quadrate (AUTOREG-, ARIMA - und MODELL-Prozeduren) maximale Wahrscheinlichkeit (AUTOREG-, ARIMA - und MODELL-Prozeduren) Yule-Walker (AUTOREG Vorgehensweise) Hildreth-Lu, der die ersten P-Beobachtungen löscht (nur MODEL-Verfahren) Siehe Kapitel 8, Das AUTOREG-Verfahren für eine Erläuterung und Diskussion der Vorzüge verschiedener AR (p) Startmethoden. Die CLS-, ULS-, ML - und HL-Initialisierungen können von PROC MODEL durchgeführt werden. Bei AR (1) Fehlern können diese Initialisierungen wie in Tabelle 18.2 gezeigt hergestellt werden. Diese Methoden sind in großen Proben äquivalent. Tabelle 18.2 Initialisierungen von PROC MODEL: AR (1) FEHLER Die anfänglichen Verzögerungen der Fehlerterme von MA (q) Modellen können auch auf unterschiedliche Weise modelliert werden. Die folgenden gleitenden durchschnittlichen Fehler-Start-up-Paradigmen werden von den ARIMA - und MODEL-Prozeduren unterstützt: bedingungslose kleinste Quadrate bedingte kleinste Quadrate Die bedingte Methode der kleinsten Quadrate, um gleitende durchschnittliche Fehlerbegriffe zu schätzen, ist nicht optimal, da sie das Start-Problem ignoriert. Dies verringert die Effizienz der Schätzungen, obwohl sie selbständig bleiben. Die anfänglichen verzögerten Residuen, die sich vor dem Start der Daten erstrecken, werden als 0 angenommen, ihr unbedingter Erwartungswert. Dies führt zu einem Unterschied zwischen diesen Residuen und den verallgemeinerten kleinsten Quadraten-Resten für die gleitende Durchschnittskovarianz, die im Gegensatz zum autoregressiven Modell durch den Datensatz bestehen bleibt. Normalerweise konvergiert diese Differenz schnell auf 0, aber für fast nicht umwandelbare gleitende Mittelprozesse ist die Konvergenz ziemlich langsam. Um dieses Problem zu minimieren, sollten Sie genügend Daten haben, und die gleitenden durchschnittlichen Parameterschätzungen sollten innerhalb des invertierbaren Bereichs liegen. Dieses Problem kann auf Kosten des Schreibens eines komplexeren Programms korrigiert werden. Unbedingte kleinste Quadrate Schätzungen für die MA (1) Prozess kann durch die Angabe des Modells wie folgt produziert werden: Moving-Average-Fehler können schwer abzuschätzen. Sie sollten eine AR (p) - Animation an den gleitenden Mittelprozess anwenden. Ein gleitender Durchschnittsprozess kann in der Regel durch einen autoregressiven Prozess gut angenähert werden, wenn die Daten nicht geglättet oder differenziert wurden. Das AR-Makro Das SAS-Makro AR erzeugt Programmieranweisungen für PROC MODEL für autoregressive Modelle. Das AR-Makro ist Teil der SASETS-Software und es sind keine speziellen Optionen erforderlich, um das Makro zu verwenden. Der autoregressive Prozess kann auf die strukturellen Gleichungsfehler oder auf die endogene Reihe selbst angewendet werden. Das AR-Makro kann für die folgenden Autoregressionstypen verwendet werden: uneingeschränkte Vektorautoregression eingeschränkte Vektorautoregression Univariate Autoregression Um den Fehlerterm einer Gleichung als autoregressiven Prozess zu modellieren, verwenden Sie nach der Gleichung die folgende Aussage: Angenommen, Y ist ein Lineare Funktion von X1, X2 und einem AR (2) Fehler. Sie würden dieses Modell wie folgt schreiben: Die Anrufe nach AR müssen nach allen Gleichungen kommen, auf die der Prozess zutrifft. Der vorangehende Makroaufruf, AR (y, 2), erzeugt die in der LIST-Ausgabe in Abbildung 18.58 dargestellten Anweisungen. Abbildung 18.58 LIST Option Ausgang für ein AR (2) - Modell Die PRED-vordefinierten Variablen sind temporäre Programmvariablen, so dass die Verzögerungen der Residuen die korrekten Residuen sind und nicht die durch diese Gleichung neu definierten. Beachten Sie, dass dies den Aussagen entspricht, die explizit im Abschnitt Allgemeine Formular für ARMA-Modelle geschrieben sind. Sie können die autoregressiven Parameter auch bei ausgewählten Lags auf Null setzen. Wenn Sie z. B. autoregressive Parameter bei den Ziffern 1, 12 und 13 wünschen, können Sie die folgenden Aussagen verwenden: Diese Aussagen erzeugen die in Abbildung 18.59 dargestellte Ausgabe. Abbildung 18.59 LIST Option Ausgang für ein AR-Modell mit Lags bei 1, 12 und 13 Das MODEL Procedure Listing von Compiled Program Code Statement als Parsed PRED. yab x1 c x2 RESID. y PRED. y - ACTUAL. y ERROR. Y PRED. Y - y OLDPRED. y PRED. y yl1 ZLAG1 (y - perdy) yl12 ZLAG12 (y - perdy) yl13 ZLAG13 (y - perdy) RESID. y PRED. y - ACTUAL. y ERROR. Y PRED. y - y Es gibt Variationen der bedingten Methode der kleinsten Quadrate, je nachdem, ob Beobachtungen zu Beginn der Serie zum Aufwärmen des AR-Prozesses verwendet werden. Standardmäßig verwendet die AR-bedingte Methode der kleinsten Quadrate alle Beobachtungen und nimmt Nullen für die anfänglichen Verzögerungen autoregressiver Begriffe an. Durch die Verwendung der M-Option können Sie anfordern, dass AR die unbedingte Methode der kleinsten Quadrate (ULS) oder Maximum-Likelihood (ML) verwendet. Zum Beispiel finden die Diskussionen dieser Methoden im Abschnitt AR Anfangsbedingungen. Mit der Option MCLS n können Sie anfordern, dass die ersten n Beobachtungen verwendet werden, um Schätzungen der ursprünglichen autoregressiven Verzögerungen zu berechnen. In diesem Fall beginnt die Analyse mit der Beobachtung n 1. Zum Beispiel: Mit dem AR-Makro können Sie mit der Option TYPEV ein autoregressives Modell an die endogene Variable anstelle des Fehlerbegriffs anwenden. Wenn Sie zum Beispiel die fünf vergangenen Verzögerungen von Y der Gleichung im vorherigen Beispiel hinzufügen möchten, können Sie mit AR die Parameter und Verzögerungen verwenden, indem Sie die folgenden Anweisungen verwenden: Die vorherigen Anweisungen erzeugen die in Abbildung 18.60 dargestellte Ausgabe. Abbildung 18.60 LIST Option Ausgang für ein AR-Modell von Y Dieses Modell prognostiziert Y als lineare Kombination von X1, X2, einem Intercept und den Werten von Y in den letzten fünf Perioden. Unbeschränkte Vektor-Autoregression Um die Fehlerterme eines Satzes von Gleichungen als autoregressiver Autorektor zu modellieren, verwenden Sie nach den Gleichungen die folgende Form des AR-Makros: Der Prozeßname-Wert ist ein beliebiger Name, den Sie für AR verwenden, um Namen für den autoregressiven zu verwenden Parameter. Sie können das AR-Makro verwenden, um mehrere verschiedene AR-Prozesse für verschiedene Sätze von Gleichungen zu modellieren, indem Sie für jeden Satz unterschiedliche Prozessnamen verwenden. Der Prozessname stellt sicher, dass die verwendeten Variablennamen eindeutig sind. Verwenden Sie einen kurzen Prozessnamenwert für den Prozess, wenn Parameterschätzungen in einen Ausgabedatensatz geschrieben werden sollen. Das AR-Makro versucht, Parameternamen zu erstellen, die kleiner oder gleich acht Zeichen sind, aber dies ist durch die Länge des Prozessnamens begrenzt. Die als Präfix für die AR-Parameternamen verwendet wird. Der Variablenwert ist die Liste der endogenen Variablen für die Gleichungen. Angenommen, dass Fehler für die Gleichungen Y1, Y2 und Y3 durch einen autoregressiven Prozess zweiter Ordnung erzeugt werden. Sie können die folgenden Aussagen verwenden, die für Y1 und einen ähnlichen Code für Y2 und Y3 generieren: Für die Vektorprozesse kann nur die Methode der bedingten kleinsten Quadrate (MCLS oder MCLS n) verwendet werden. Sie können auch das gleiche Formular mit Einschränkungen verwenden, dass die Koeffizientenmatrix bei ausgewählten Lags 0 ist. Zum Beispiel geben die folgenden Aussagen einen Vektorprozess dritter Ordnung an die Gleichungsfehler mit allen Koeffizienten bei Verzögerung 2, die auf 0 beschränkt ist, und mit den Koeffizienten bei Verzögerungen 1 und 3 uneingeschränkt: Sie können die drei Serien Y1Y3 als Vektor autoregressiven Prozess modellieren In den Variablen statt in den Fehlern mit der Option TYPEV. Wenn du Y1Y3 als Funktion von vergangenen Werten von Y1Y3 und einigen exogenen Variablen oder Konstanten modellieren möchtest, kannst du mit AR die Aussagen für die Verzögerungsbedingungen erzeugen. Schreiben Sie für jede Variable eine Gleichung für den nichtautoregressiven Teil des Modells und rufen Sie dann AR mit der Option TYPEV auf. Zum Beispiel kann der nichtautoregressive Teil des Modells eine Funktion von exogenen Variablen sein, oder es können Abschnittsparameter sein. Wenn es keine exogenen Komponenten für das Vektor-Autoregression-Modell gibt, einschließlich keine Abschnitte, dann ordnen Sie jeder der Variablen Null zu. Es muss eine Zuordnung zu jeder der Variablen geben, bevor AR aufgerufen wird. Dieses Beispiel modelliert den Vektor Y (Y1 Y2 Y3) als lineare Funktion nur seines Wertes in den vorherigen zwei Perioden und einen weißen Rauschfehlervektor. Das Modell hat 18 (3 3 3 3) Parameter. Syntax des AR-Makros Es gibt zwei Fälle der Syntax des AR-Makros. Wenn keine Beschränkungen für einen Vektor-AR-Prozess erforderlich sind, gibt die Syntax des AR-Makros das allgemeine Formular ein Präfix für AR, das beim Erstellen von Namen von Variablen verwendet wird, die benötigt werden, um den AR-Prozess zu definieren. Wenn der Endolist nicht angegeben ist, wird die endogene Liste standardmäßig benannt. Die der Name der Gleichung sein muss, auf die der AR-Fehlerprozess angewendet werden soll. Der Name Wert darf 32 Zeichen nicht überschreiten. Ist die Reihenfolge des AR-Prozesses. Gibt die Liste der Gleichungen an, auf die der AR-Prozess angewendet werden soll. Wenn mehr als ein Name gegeben ist, wird ein uneingeschränkter Vektorprozess mit den strukturellen Resten aller Gleichungen erzeugt, die als Regressoren in jeder der Gleichungen enthalten sind. Wenn nicht angegeben, wird endolist standardmäßig benannt. Gibt die Liste der Verzögerungen an, an denen die AR-Begriffe hinzugefügt werden sollen. Die Koeffizienten der Terme, die nicht aufgeführt sind, werden auf 0 gesetzt. Alle aufgeführten Lags müssen kleiner oder gleich nlag sein. Und es muss keine Duplikate geben. Wenn nicht angegeben, wird die Laglist standardmäßig auf alle Verzögerungen 1 bis nlag gesetzt. Legt die zu implementierende Schätzmethode fest. Gültige Werte von M sind CLS (bedingte kleinste Quadrate Schätzungen), ULS (unbedingte kleinste Quadrate Schätzungen) und ML (Maximum Likelihood Schätzungen). MCLS ist die Voreinstellung. Nur MCLS ist erlaubt, wenn mehr als eine Gleichung angegeben ist. Die ULS - und ML-Methoden werden für AR-Modelle von AR nicht unterstützt. Dass der AR-Prozess auf die endogenen Variablen selbst anstatt auf die strukturellen Residuen der Gleichungen angewendet werden soll. Eingeschränkte Vektor-Autoregression Sie können steuern, welche Parameter in den Prozess aufgenommen werden, und beschränken auf 0 die Parameter, die Sie nicht enthalten. Zuerst verwenden Sie AR mit der Option DEFER, um die Variablenliste zu deklarieren und die Dimension des Prozesses zu definieren. Verwenden Sie dann zusätzliche AR-Aufrufe, um Begriffe für ausgewählte Gleichungen mit ausgewählten Variablen an ausgewählten Lags zu erzeugen. Zum Beispiel sind die erzeugten Fehlergleichungen wie folgt: Dieses Modell besagt, dass die Fehler für Y1 von den Fehlern von Y1 und Y2 (aber nicht Y3) an beiden Verzögerungen 1 und 2 abhängen und dass die Fehler für Y2 und Y3 davon abhängen Die vorherigen Fehler für alle drei Variablen, aber nur bei Verzögerung 1. AR-Makro-Syntax für eingeschränkte Vektor-AR Eine alternative Verwendung von AR erlaubt es, Einschränkungen für einen Vektor-AR-Prozess aufzuerlegen, indem man AR mehrmals aufruft, um verschiedene AR-Terme und Verzögerungen für verschiedene anzugeben Gleichungen. Der erste Aufruf hat das allgemeine Formular spezifiziert ein Präfix für AR, das beim Erstellen von Namen von Variablen verwendet wird, die benötigt werden, um den Vektor-AR-Prozess zu definieren. Gibt die Reihenfolge des AR-Prozesses an. Gibt die Liste der Gleichungen an, auf die der AR-Prozess angewendet werden soll. Gibt an, dass AR nicht den AR-Prozess generieren soll, sondern auf weitere Informationen warten muss, die in späteren AR-Aufrufen für denselben Namenswert angegeben sind. Die nachfolgenden Anrufe haben die allgemeine Form ist die gleiche wie im ersten Aufruf. Gibt die Liste der Gleichungen an, auf die die Spezifikationen dieses AR-Aufrufs angewendet werden sollen. Nur Namen, die im endolistischen Wert des ersten Aufrufs für den Namen Wert angegeben sind, können in der Liste der Gleichungen in der eqlist erscheinen. Spezifiziert die Liste der Gleichungen, deren verzögerte strukturelle Residuen als Regressoren in den Gleichungen in eqlist aufgenommen werden sollen. Nur Namen im Endolisten des ersten Aufrufs für den Namenswert können in varlist erscheinen. Wenn nicht angegeben, varlist standardmäßig endolist. Gibt die Liste der Verzögerungen an, an denen die AR-Begriffe hinzugefügt werden sollen. Die Koeffizienten der Terme, die nicht aufgeführt sind, werden auf 0 gesetzt. Alle aufgeführten Lags müssen kleiner oder gleich dem Wert von nlag sein. Und es muss keine Duplikate geben. Wenn nicht angegeben, wird die Laglist standardmäßig auf alle Verzögerungen 1 bis Nlag gesetzt. Das MA-Makro Das SAS-Makro MA generiert Programmierungsanweisungen für PROC MODEL für gleitende Durchschnittsmodelle. Das MA-Makro ist Teil der SASETS-Software und es sind keine speziellen Optionen erforderlich, um das Makro zu verwenden. Der gleitende durchschnittliche Fehlerprozess kann auf die strukturellen Gleichungsfehler angewendet werden. Die Syntax des MA-Makros ist das gleiche wie das AR-Makro, außer es gibt kein TYPE-Argument. Wenn Sie die MA - und AR-Makros kombinieren, muss das MA-Makro dem AR-Makro folgen. Die folgenden SASIML-Anweisungen erzeugen einen ARMA (1, (1 3)) Fehlerprozess und speichern ihn im Datensatz MADAT2. Die folgenden PROC MODEL-Anweisungen werden verwendet, um die Parameter dieses Modells mit Hilfe der Maximum-Likelihood-Fehlerstruktur zu schätzen: Die Schätzungen der Parameter, die durch diesen Lauf erzeugt werden, sind in Abbildung 18.61 dargestellt. Abbildung 18.61 Schätzungen aus einem ARMA (1, (1 3)) Prozess Es gibt zwei Fälle der Syntax für das MA-Makro. Wenn Einschränkungen für einen Vektor-MA-Prozess nicht benötigt werden, gibt die Syntax des MA-Makros das allgemeine Formular ein Präfix für MA an, das beim Erstellen von Namen von Variablen verwendet wird, die benötigt werden, um den MA-Prozess zu definieren und ist der Standard-Endolist. Ist die Reihenfolge des MA-Prozesses. Gibt die Gleichungen an, auf die der MA-Prozess angewendet werden soll. Wenn mehr als ein Name angegeben ist, wird die CLS-Schätzung für den Vektorprozess verwendet. Gibt die Verzögerungen an, bei denen die MA-Bedingungen hinzugefügt werden sollen. Alle aufgeführten Lags müssen kleiner oder gleich nlag sein. Und es muss keine Duplikate geben. Wenn nicht angegeben, wird die Laglist standardmäßig auf alle Verzögerungen 1 bis nlag gesetzt. Legt die zu implementierende Schätzmethode fest. Gültige Werte von M sind CLS (bedingte kleinste Quadrate Schätzungen), ULS (unbedingte kleinste Quadrate Schätzungen) und ML (Maximum Likelihood Schätzungen). MCLS ist die Voreinstellung. Nur MCLS ist erlaubt, wenn im Endolisten mehr als eine Gleichung angegeben ist. MA Makro-Syntax für eingeschränkte Vektor-Moving-Average Eine alternative Verwendung von MA erlaubt es, Einschränkungen für einen Vektor-MA-Prozess aufzuerlegen, indem man MA mehrmals aufruft, um verschiedene MA-Terme anzugeben und für verschiedene Gleichungen zu verzögern. Der erste Aufruf hat das allgemeine Formular spezifiziert ein Präfix für MA, das beim Erstellen von Namen von Variablen verwendet wird, die benötigt werden, um den Vektor-MA-Prozeß zu definieren. Gibt die Reihenfolge des MA-Prozesses an. Gibt die Liste der Gleichungen an, auf die der MA-Prozess angewendet werden soll. Gibt an, dass MA nicht den MA-Prozess generieren soll, sondern auf weitere Informationen warten muss, die in späteren MA-Aufrufen für denselben Namenswert angegeben sind. Die nachfolgenden Anrufe haben die allgemeine Form ist die gleiche wie im ersten Aufruf. Gibt die Liste der Gleichungen an, auf die die Spezifikationen dieses MA-Aufrufs angewendet werden sollen. Spezifiziert die Liste der Gleichungen, deren verzögerte strukturelle Residuen als Regressoren in den Gleichungen in eqlist aufgenommen werden sollen. Spezifiziert die Liste der Verzögerungen, an denen die MA-Terme hinzugefügt werden sollen. Autoregressive Moving-Average Simulation (First Order) Die Demonstration ist so eingestellt, dass die gleiche zufällige Reihe von Punkten verwendet wird, egal wie die Konstanten und variiert sind. Wenn jedoch die Taste quotrandomizequot gedrückt wird, wird eine neue Zufallsreihe erzeugt und verwendet. Wenn man die zufällige Serie identifiziert, kann der Benutzer genau die Effekte auf die ARMA-Reihe von Änderungen in den beiden Konstanten sehen. Die Konstante ist auf (-1,1) begrenzt, da sich die Divergenz der ARMA-Serie ergibt. Die Demonstration ist nur für einen ersten Auftrag. Zusätzliche AR-Begriffe würden es ermöglichen, komplexere Serien zu erzeugen, während zusätzliche MA-Begriffe die Glättung erhöhen würden. Für eine detaillierte Beschreibung der ARMA-Prozesse siehe z. B. G. Box, G. M. Jenkins und G. Reinsel, Zeitreihenanalyse: Prognose und Kontrolle. 3. Aufl. Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, 1994. RELATED LINKSAutoregressive Moving Average ARMA (p, q) Modelle für die Zeitreihenanalyse - Teil 3 Dies ist der dritte und letzte Posten in der Mini-Serie für Autoregressive Moving Average (ARMA) Modelle für Zeitreihenanalyse Weve eingeführt Autoregressive Modelle und Moving Average Modelle in den beiden vorherigen Artikeln. Jetzt ist es Zeit, sie zu kombinieren, um ein anspruchsvolleres Modell zu produzieren. Letztlich wird uns dies zu den ARIMA - und GARCH-Modellen führen, die es uns ermöglichen, die Vermögensrenditen vorherzusagen und die Volatilität zu prognostizieren. Diese Modelle bilden die Grundlage für den Handel von Signalen und Risikomanagementtechniken. Wenn Sie Teil 1 und Teil 2 lesen, werden Sie gesehen haben, dass wir ein Muster für unsere Analyse eines Zeitreihenmodells folgen. Ill wiederholen Sie es kurz hier: Begründung - Warum interessieren wir uns für dieses spezielle Modell Definition - Eine mathematische Definition, um Mehrdeutigkeit zu reduzieren. Correlogram - Plotten eines Beispiel-Korrelogramms, um ein Modellverhalten zu visualisieren. Simulation und Montage - Anpassung des Modells an Simulationen, um sicherzustellen, dass wir das Modell richtig verstanden haben. Echte Finanzdaten - Bewerben Sie das Modell auf echte historische Vermögenspreise. Vorhersage - Prognose nachfolgende Werte zum Erstellen von Handelssignalen oder Filtern. Um diesem Artikel zu folgen, empfiehlt es sich, die vorherigen Artikel zur Zeitreihenanalyse zu betrachten. Sie können alle hier gefunden werden. Bayesian Information Criterion In Teil 1 dieser Artikelserie sahen wir das Akaike Information Criterion (AIC) als Mittel an, uns dabei zu helfen, zwischen separaten besten Zeitreihenmodellen zu wählen. Ein eng verwandtes Werkzeug ist das Bayesian Information Criterion (BIC). Im Wesentlichen hat es ein ähnliches Verhalten gegenüber der AIC, dass es Modelle für mit zu vielen Parametern bestraft. Dies kann zu Überfüllung führen. Der Unterschied zwischen dem BIC und dem AIC ist, dass der BIC mit seiner Bestrafung zusätzlicher Parameter strenger ist. Bayesian Information Criterion Wenn wir die Wahrscheinlichkeitsfunktion für ein statistisches Modell, das k Parameter hat, und L maximiert die Wahrscheinlichkeit zu nehmen. Dann ist das Bayesian Information Criterion gegeben durch: Wo n ist die Anzahl der Datenpunkte in der Zeitreihe. Wir werden bei der Auswahl geeigneter ARMA (p, q) Modelle die AIC und BIC verwenden. Ljung-Box Test In Teil 1 dieser Artikel-Serie Rajan erwähnt in der Disqus Bemerkungen, dass die Ljung-Box-Test war besser geeignet als mit dem Akaike Information Criterion der Bayesian Information Criterion bei der Entscheidung, ob ein ARMA-Modell war eine gute Passform zu einer Zeit Serie. Der Ljung-Box-Test ist ein klassischer Hypothesentest, der entworfen ist, um zu testen, ob ein Satz von Autokorrelationen eines angepassten Zeitreihenmodells sich deutlich von Null unterscheidet. Der Test testet nicht jede einzelne Verzögerung für Zufälligkeit, sondern prüft die Zufälligkeit über eine Gruppe von Verzögerungen. Ljung-Box-Test Wir definieren die Nullhypothese als: Die Zeitreihendaten bei jeder Verzögerung sind i. i.d .. das heißt, die Korrelationen zwischen den Populationsreihenwerten sind Null. Wir definieren die alternative Hypothese als: Die Zeitreihendaten sind nicht i. i.d. Und besitzen eine serielle Korrelation. Wir berechnen die folgende Teststatistik. Q: Wenn n die Länge der Zeitreihenprobe ist, ist H die Probe Autokorrelation bei Verzögerung k und h ist die Anzahl der Verzögerungen unter dem Test. Die Entscheidungsregel, ob die Nullhypothese zurückgewiesen werden soll, besteht darin, zu prüfen, ob Q gt chi2, für eine chi-quadratische Verteilung mit h Freiheitsgraden bei dem 100 (1-alpha) - ten Perzentil. Während die Details des Tests etwas kompliziert erscheinen können, können wir in der Tat R verwenden, um den Test für uns zu berechnen, was die Prozedur etwas vereinfacht. Autogressive Moving Average (ARMA) Modelle der Ordnung p, q Nun, da wir den BIC und den Ljung-Box-Test besprochen haben, waren wir bereit, unser erstes gemischtes Modell zu besprechen, nämlich den Autoregressiven Moving Average der Ordnung p, q oder ARMA (p, Q). Bisher haben wir autoregressive Prozesse und gleitende Mittelprozesse betrachtet. Das ehemalige Modell betrachtet sein eigenes vergangenes Verhalten als Inputs für das Modell und als solche Versuche, Marktteilnehmereffekte wie Impuls und Mittelwertreduktion im Aktienhandel zu erfassen. Das letztere Modell wird verwendet, um Schock-Informationen zu einer Serie zu charakterisieren, wie etwa eine Überraschungs-Gewinn-Ankündigung oder ein unerwartetes Ereignis (wie die BP Deepwater Horizon Ölpest). Daher versucht ein ARMA-Modell, diese beiden Aspekte bei der Modellierung von finanziellen Zeitreihen zu erfassen. Beachten Sie, dass ein ARMA-Modell nicht berücksichtigt Volatilität Clustering, eine wichtige empirische Phänomene von vielen finanziellen Zeitreihen. Es ist kein bedingungslos heteroscedastisches Modell. Dafür müssen wir auf die ARCH - und GARCH-Modelle warten. Definition Das ARMA (p, q) Modell ist eine lineare Kombination von zwei linearen Modellen und ist damit selbst noch linear: Autoregressives Moving Average Modell der Ordnung p, q Ein Zeitreihenmodell, ist ein autoregressives gleitendes durchschnittliches Modell der Ordnung p, q . ARMA (p, q), wenn: xt alpha1 x alpha2 x ldots wt beta1 w beta2 w ldots betaq w Ende Wo ist weißes Rauschen mit E (wt) 0 und Varianz sigma2. Wenn wir den Backward Shift Operator betrachten. (Siehe einen vorherigen Artikel), dann können wir das obige als Funktion theta und phi umschreiben: Wir können einfach sehen, dass durch die Einstellung von p neq 0 und q0 wir das AR (p) Modell wiederherstellen. Ähnlich, wenn wir p 0 und q neq 0 setzen, gewinnen wir das MA (q) Modell zurück. Eines der Hauptmerkmale des ARMA-Modells ist, dass es in seinen Parametern sparsam und redundant ist. Das heißt, ein ARMA-Modell benötigt oft weniger Parameter als ein AR (p) oder MA (q) - Modell allein. Darüber hinaus, wenn wir die Gleichung in Bezug auf die BSO umschreiben, dann können die theta und phi Polynome manchmal einen gemeinsamen Faktor teilen, was zu einem einfacheren Modell führt. Simulationen und Correlograms Wie bei den autoregressiven und gleitenden Durchschnittsmodellen werden wir nun verschiedene ARMA-Serien simulieren und dann versuchen, ARMA-Modelle an diese Realisierungen anzupassen. Wir führen dies aus, weil wir sicherstellen wollen, dass wir das Anpassungsverfahren verstehen, einschließlich der Berechnung von Konfidenzintervallen für die Modelle, sowie sicherstellen, dass das Verfahren tatsächlich angemessene Schätzungen für die ursprünglichen ARMA-Parameter wiederherstellt. In Teil 1 und Teil 2 haben wir die AR - und MA-Serie manuell konstruiert, indem wir N Abtastwerte aus einer Normalverteilung ziehen und dann das spezifische Zeitreihenmodell unter Verwendung von Verzögerungen dieser Proben erstellen. Allerdings gibt es einen einfacheren Weg, um AR-, MA-, ARMA - und sogar ARIMA-Daten zu simulieren, indem einfach die arima. sim-Methode in R verwendet wird. Beginnen wir mit dem einfachsten nicht-trivialen ARMA-Modell, nämlich dem ARMA (1,1 ) Modell. Das heißt, ein autoregressives Modell der Ordnung, kombiniert mit einem gleitenden Durchschnittsmodell der Ordnung eins. Ein solches Modell hat nur zwei Koeffizienten, Alpha und Beta, die die ersten Verzögerungen der Zeitreihe selbst und die schockweißen Rauschbegriffe darstellen. Ein solches Modell ist gegeben durch: Wir müssen die Koeffizienten vor der Simulation angeben. Nehmen wir alpha 0,5 und beta -0,5: Die Ausgabe ist wie folgt: Lets auch das Korrelogramm: Wir können sehen, dass es keine signifikante Autokorrelation gibt, die von einem ARMA (1,1) - Modell zu erwarten ist. Schließlich können wir die Koeffizienten und ihre Standardfehler mit der arima-Funktion ausführen: Wir können die Konfidenzintervalle für jeden Parameter mit den Standardfehlern berechnen: Die Konfidenzintervalle enthalten die wahren Parameterwerte für beide Fälle, aber wir sollten beachten, dass die 95 Konfidenzintervalle sind sehr breit (eine Folge der vernünftig großen Standardfehler). Lass jetzt ein ARMA (2,2) Modell versuchen. Das heißt, ein AR (2) Modell kombiniert mit einem MA (2) Modell. Wir müssen vier Parameter für dieses Modell angeben: alpha1, alpha2, beta1 und beta2. Nehmen wir alpha1 0,5, alpha2-0.25 beta10.5 und beta2-0.3: Die Ausgabe unseres ARMA (2,2) Modells ist wie folgt: Und die entsprechende Autocorelation: Wir können nun versuchen, ein ARMA (2,2) Modell anzupassen Die Daten: Wir können auch die Konfidenzintervalle für jeden Parameter berechnen: Beachten Sie, dass die Konfidenzintervalle für die Koeffizienten für die gleitende Durchschnittskomponente (beta1 und beta2) tatsächlich nicht den ursprünglichen Parameterwert enthalten. Dies stellt die Gefahr dar, dass man versucht, Modelle an Daten anzupassen, auch wenn wir die wahren Parameterwerte kennen. Aber für Handelszwecke müssen wir nur eine prädiktive Kraft haben, die den Zufall übersteigt und genügend Gewinn über den Transaktionskosten produziert, um rentabel zu sein auf lange Sicht. Nun, da wir einige Beispiele für simulierte ARMA-Modelle gesehen haben, brauchen wir einen Mechanismus zur Auswahl der Werte von p und q bei der Anpassung an die Modelle an reale Finanzdaten. Auswählen des besten ARMA (p, q) Modells Um zu bestimmen, welche Reihenfolge p, q des ARMA-Modells für eine Serie geeignet ist, müssen wir die AIC (oder BIC) über eine Teilmenge von Werten für p, q und Dann den Ljung-Box-Test anwenden, um festzustellen, ob eine gute Passung erreicht ist, für bestimmte Werte von p, q. Um diese Methode zu zeigen, werden wir zunächst einen bestimmten ARMA (p, q) Prozess simulieren. Wir werden dann alle paarweise Werte von p in und q in und über die AIC berechnen. Wir wählen das Modell mit dem niedrigsten AIC und führen dann einen Ljung-Box-Test auf die Residuen, um festzustellen, ob wir eine gute Passform erreicht haben. Lasst uns anfangen, eine ARMA (3,2) - Serie zu simulieren: Wir erstellen nun ein Objekt endgültig, um die beste Modellanpassung und den niedrigsten AIC-Wert zu speichern. Wir schleifen über die verschiedenen p, q Kombinationen und verwenden das aktuelle Objekt, um die Anpassung eines ARMA (i, j) Modells für die Looping Variablen i und j zu speichern. Wenn die aktuelle AIC kleiner als jede zuvor berechnete AIC ist, setzen wir die endgültige AIC auf diesen aktuellen Wert und wählen diese Reihenfolge aus. Nach Beendigung der Schleife haben wir die Reihenfolge des ARMA-Modells in final. order gespeichert und die ARIMA (p, d, q) passen sich an (mit der integrierten d-Komponente auf 0) als final. arma gespeichert: Letzt die Ausgabe der AIC , Ordnung und ARIMA Koeffizienten: Wir können sehen, dass die ursprüngliche Reihenfolge des simulierten ARMA-Modells wiederhergestellt wurde, nämlich mit p3 und q2. Wir können das Corelogramm der Residuen des Modells abbilden, um zu sehen, ob sie wie eine Realisierung von diskreten weißen Geräuschen (DWN) aussehen: Das Corelogramm sieht in der Tat wie eine Realisierung von DWN aus. Schließlich führen wir den Ljung-Box-Test für 20 Verzögerungen durch, um dies zu bestätigen: Beachten Sie, dass der p-Wert größer als 0,05 ist, was besagt, dass die Residuen auf der 95-Ebene unabhängig sind und somit ein ARMA (3,2) - Modell eine Gutes modell passend Eindeutig sollte dies der Fall sein, da wir die Daten selbst simuliert haben. Dies ist jedoch genau das Verfahren, das wir verwenden werden, wenn wir ARMA (p, q) Modelle auf den SampP500 Index im folgenden Abschnitt passen. Finanzdaten Nun, da wir das Verfahren zur Auswahl des optimalen Zeitreihenmodells für eine simulierte Serie skizziert haben, ist es ziemlich einfach, es auf Finanzdaten anzuwenden. Für dieses Beispiel werden wir noch einmal den SampP500 US Equity Index wählen. Lässt die täglichen Schlusskurse mit quantmod herunterladen und dann den Log-Return-Stream erstellen: Lass die gleiche Anpassungsprozedur wie für die simulierte ARMA (3,2) - Serie oben auf der Log-Returns-Serie des SampP500 mit dem AIC: Das beste passende Modell Hat bestellen ARMA (3,3): Lets Plot die Residuen des angepassten Modells auf die SampP500 log täglichen Renditen Stream: Beachten Sie, dass es einige signifikante Spitzen, vor allem bei höheren Lags. Dies ist ein Hinweis auf eine schlechte Passform. Lasst uns einen Ljung-Box-Test durchführen, um zu sehen, ob wir statistische Beweise dafür haben: Wie wir vermutet haben, ist der p-Wert weniger als 0,05 und als solche können wir nicht sagen, dass die Residuen eine Realisierung von diskreten weißen Rauschen sind. Daher gibt es eine zusätzliche Autokorrelation in den Resten, die nicht durch das eingebaute ARMA (3,3) Modell erklärt wird. Nächste Schritte Wie wir in dieser Artikelserie ausführlich diskutiert haben, haben wir in der SampP500-Serie vor allem in den Perioden um 2007-2008 einen Hinweis auf eine bedingte Heterosedastizität (Volatilitätsclustering) gesehen. Wenn wir ein GARCH-Modell später in der Artikelserie verwenden, werden wir sehen, wie man diese Autokorrelationen beseitigt. In der Praxis sind ARMA-Modelle niemals im Allgemeinen gut passt für Log-Aktien-Renditen. Wir müssen die bedingte Heterosedastizität berücksichtigen und eine Kombination aus ARIMA und GARCH verwenden. Der nächste Artikel wird ARIMA betrachten und zeigen, wie sich die integrierte Komponente von dem ARMA-Modell unterscheidet, das wir in diesem Artikel berücksichtigt haben. Nur mit dem quantitativen Handel begonnen